Question

6．设函数f（x）=1-$\sqrt{3}$cos2x-2sin²（$\frac{π}{4}$-x），x∈R．求：
（Ⅰ）f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）f（x）在闭区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）由二倍角公式两角和的正弦公式将f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），再求f（x）的最小正周期；
（2）先求得2x-$\frac{π}{3}$的取值范围，再由正弦函数图象求得最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=1-$\sqrt{3}$cos2x-2sin²（$\frac{π}{4}$-x），x∈R．
=cos[2（$\frac{π}{4}$-x）]-$\sqrt{3}$cos2x，
=cos（$\frac{π}{2}$-2x）-$\sqrt{3}$cos2x，
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x，
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，
∴f（x）的最小正周期T=π；
（Ⅱ）x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，2x-$\frac{π}{3}$∈[-π，$\frac{2π}{3}$]，
由正弦函数图象可知，f（x）的最大值为2，最小值为-2．
∴f（x）的最大值为2，最小值为-2．

点评 本题考查三角恒等变换与正弦函数图象相结合，化简过程简单，属于中档题．