Question

17．已知直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1与圆x²+y²=1相切，则点（a，b）到原点的距离的最小值为2．

Answer 1

分析 利用直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1与圆x²+y²=1相切，可得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}$=1，利用a²+b²=（a²+b²）（$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}$），即可得出结论．

解答 解：∵直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1与圆x²+y²=1相切，
∴$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}}}$=1，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}$=1，
∵a²+b²=（a²+b²）（$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}$）=2+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$≥4，
∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥2
∴点（a，b）到原点的距离的最小值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，正确运用点到直线的距离公式是关键．