Question

5．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（$\sqrt{3}$，0），实轴长为2，经过点M（2，1）作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB中点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据条件建立方程关系求出a，b，c的值即可求双曲线C的方程；
（2）联立直线和双曲线，根据中点坐标公式，利用设而不求的思想，求出直线的斜率即可求直线l的方程．

解答 解：（1）由已知：2a=2，c=$\sqrt{3}$．
∴a=1，b²=c²-a²=2…（2分）
所以双曲线C的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1…（4分）
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
并设经过点M的直线l的方程为y-1=k（x-2），即y=kx+1-2k…（5分）
把y=kx+1-2k代入双曲线C的方程x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
得（2-k²）x²-2k（1-2k）x-（1-2k）²-2=0，（2-k²≠0）①…（6分）
所以x_M=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{k（1-2k）}{2-{k}^{2}}=2$…（7分）
解得k=4．…（8分）
当k=4时，方程①成为 14x²-56x+51=0 
根的判别式△=56²-56×51=280＞0，方程①有实数解．…（10分）
所以，直线l的方程为y=4x-7…（12分）

点评 本题主要考查双曲线的方程以及直线和双曲线相交的性质，根据中点坐标公式以及设而不求的思想是解决本题的关键．考查学生的计算能力．