Question

5．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a${\;}_{n+1}^{2}$=2S_n+n+4，a₂-1，a₃，a₇恰为等比数列{b_n}的前3项．
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=（-1）ⁿa_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将n换为n-1，两式相减，可得a_n+1-a_n=1，即公差d=1，再由等比数列的性质和等差数列的通项公式，解方程可得a₂=3，再由等差数列的通项公式可得通项；再由等比数列的定义和通项公式可得所求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出c_n=（-1）ⁿa_nb_n=（n+1）（-2）ⁿ，结合数列的特点利用错位相减法，可求前n项和T_n．

解答 解：（I）∵a_n+1²=2S_n+n+4，∴当n≥2时，a_n²=2S_n-1+n+3，两式相减可得：a_n+1²-a_n²=2a_n+1，
∴a_n+1²=（a_n+1）²，
∵数列{a_n}是各项均为正数的数列，∴a_n+1=a_n+1，即a_n+1-a_n=1，
∴a₂-a₁=1．又a₂²=2a₁+5，联立解得a₁=2．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为2，公差为1．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
∴a₂-1=2，a₃=4，a₇=8，
∴等比数列{b_n}的公比q=$\frac{4}{2}$=2，首项为2．
∴b_n=2ⁿ，
（Ⅱ）c_n=（-1）ⁿa_nb_n=（-1）ⁿ（n+1）2ⁿ=（n+1）（-2）ⁿ，
∴T_n=2×（-2）+3×（-2）²+4×（-2）³+…+（n+1）（-2）ⁿ，①
-2T_n=2×（-2）²+3×（-2）³+4×（-2）⁴+…+n（-2）ⁿ+（n+1）（-2）ⁿ⁺¹，②
相减可得3T_n=（-2）+（-2）²+（-2）³+…+（-2）ⁿ-（n+1）（-2）ⁿ⁺¹=$\frac{（-2）[1-（-2）^{n}]}{1-（-2）}$-（n+1）（-2）ⁿ⁺¹=-$\frac{3n+2}{3}$•（-2）ⁿ⁺¹-$\frac{2}{3}$
∴T_n=-$\frac{3n+2}{9}$•（-2）ⁿ⁺¹-$\frac{2}{9}$

点评 本题主要考查了利用基本量表示等差数列及等比 数列的通项公式，错位相减求数列的和是数列求和方法中的重点和难点．