Question

14．若函数f（x）=sin$\frac{x}{2}$+acos$\frac{x}{2}$的图象关于点（$\frac{3π}{2}$，0）对称，则函数f（x）的最大值等于（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由函数的对称性可得f（0）=-f（3π），代入计算可得a值，再由三角函数的最值可得．

解答 解：∵函数f（x）=sin$\frac{x}{2}$+acos$\frac{x}{2}$的图象关于点（$\frac{3π}{2}$，0）对称，
∴f（0）=-f（2×$\frac{3π}{2}$），即f（0）=-f（3π），
代值可得a=-sin$\frac{3π}{2}$-acos$\frac{3π}{2}$，解得a=1，
∴f（x）=sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$），
∴函数f（x）的最大值为$\sqrt{2}$，
故选：B．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及函数图象的对称性和三角函数最值，属基础题．