Question

9．给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导图数f″（x）是函数f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．经探究发现，任意一个三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）都有“拐点”，且该“拐点”也是该函数的对称中心，若f（x）=2x³-3x²+x+2，则f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{3}{2016}$）+…+f（$\frac{2015}{2016}$）=（　　）

• A． 2015
• B． 2016
• C． 4030
• D． 4032

Answer 1

分析 先求f′（x）的解析式，再求f″（x），由f″（x）=0 求得拐点的横坐标，代入函数解析式求拐点的纵坐标，然后利用中心对称知识，把要求的f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{3}{2016}$）+…+f（$\frac{2015}{2016}$）的值转化为对称中心点的函数值．

解答 解：依题意，得：f′（x）=6x²-6x+1，∴f″（x）=12x-6．
由f″（x）=0，即2x-1=0，得：x=$\frac{1}{2}$，
把x=$\frac{1}{2}$代入函数f（x）的解析式得：f（$\frac{1}{2}$）=2，
∴函数f（x）的对称中心为（$\frac{1}{2}$，2）；
则f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2015}{2016}$）=f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{2014}{2016}$）=…=2f（$\frac{1008}{2016}$）=2f（$\frac{1}{2}$），
∴f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{3}{2016}$）+…+f（$\frac{2015}{2016}$）=2015f（$\frac{1}{2}$）=2015×2=4030．
故选：C．

点评 本题考查一阶导数、二阶导数的求法，函数的拐点的定义以及函数图象关于某点对称的条件，解答此题的关键是能够运用对称知识把要求解的问题转化为中心对称点的函数值问题，此题是中档题．