Question

19．已知函数f（x）=x²+4x+4，若存在实数t，当x∈[1，t]时，f（x-a）≤4x（a＞0）恒成立，则实数t的最大值是9．

Answer 1

分析 化简可得当x∈[1，t]时，（x-a）²-4a+4≤0（a＞0）恒成立，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{（1-a）^{2}-4a+4≤0}\\{（t-a）^{2}-4a+4≤0}\end{array}\right.$，从而解得．

解答 解：∵函数f（x）=x²+4x+4，
∴f（x-a）=（x-a）²+4（x-a）+4
=（x-a）²+4x-4a+4；
∵当x∈[1，t]时，f（x-a）≤4x（a＞0）恒成立，
∴当x∈[1，t]时，（x-a）²-4a+4≤0（a＞0）恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（1-a）^{2}-4a+4≤0}\\{（t-a）^{2}-4a+4≤0}\end{array}\right.$，
由（1-a）²-4a+4≤0解得，
1≤a≤5；
由（t-a）²-4a+4≤0可得，
a-$\sqrt{4a-4}$≤t≤a+$\sqrt{4a-4}$，
故当a=5时，a+$\sqrt{4a-4}$有最大值5+4=9，
故实数t的最大值是9，
故答案为：9．

点评 本题考查了二次函数的性质与二次不等式的解法，同时考查了转化思想与整体思想的应用．