Question

10．平面向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，$\overrightarrow{a}$=（0，3），|$\overrightarrow{b}$|=2，若λ∈R，则|λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的最小值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，代入∴|λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（λ\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}=\sqrt{{λ}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$，转化为关于λ的二次函数，再运用二次函数最值的求法求得|λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（0，3），∴$|\overrightarrow{a}|=3$，
又$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，且$|\overrightarrow{b}|=2$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos60°=3×2×\frac{1}{2}=3$，
∴|λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（λ\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}=\sqrt{{λ}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$
=$\sqrt{9{λ}^{2}-6λ+4}$．
∴当$λ=\frac{1}{3}$时，$|λ\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$有最小值为$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，训练了二次函数最值的求法，是中档题．