Question

18．已知点P，Q是抛物线y²=4x上两点，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0（点O为坐标原点），则直线PQ过定点（4，0）．

Answer 1

分析 设出P，Q的坐标，讨论当直线斜率存在时，联立直线方程与抛物线方程，利用消元法得到关于x的一元二次方程，由$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，得x₁x₂+y₁y₂=0，建立关于参数k，b的关系，消去b可得直线恒过（4，0）；当直线斜率不存在时，由对称性直接得到OP所在直线方程，与抛物线方程联立求得P的坐标，说明PQ过定点（4，0）．

解答 解：设点P，Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
当过P、Q的直线l存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0．
联立方程得：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y得k²x²+（2kb-4）x+b²=0．
则x₁x₂=$\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$，
由y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
则y₁y₂=4•$\frac{b}{k}$，
又$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，则x₁x₂+y₁y₂=0，
即$\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}+\frac{4b}{k}=0$，
解得b=0（舍去）或b=-4k，
故直线l的方程为：y=kx-k=k（x-4），故直线过定点（4，0）；
当过P、Q的直线l的斜率不存在时，由题意可得，OP所在直线方程为y=x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，解得P（4，4），由此可知直线PQ过点（4，0）．
综上可知，直线PQ过定点（4，0）．
故答案为：（4，0）．

点评 本题考查向量垂直的条件，同时考查直线与抛物线的位置关系，以及证明直线恒过定点，属于中档题．