Question

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sinA-sinB）（a+b）=$（\frac{1}{2}a-c）sinC$，则sinB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

Answer 1

分析 运用三角形的正弦定理可得a²+c²-b²=$\frac{1}{2}$ac，再由余弦定理，可得cosB=$\frac{1}{4}$，再由同角的平方关系计算即可得到所求值．

解答 解：在△ABC中，由正弦定理可得sinA=$\frac{a}{2R}$，sinB=$\frac{b}{2R}$，sinC=$\frac{c}{2R}$，
代入条件，可得（a-b）（a+b）=（$\frac{1}{2}$a-c）c，
即有a²+c²-b²=$\frac{1}{2}$ac，
由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{4}$，
sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\sqrt{1-\frac{1}{16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

点评 本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查同角的三角函数的平方关系的运用，以及运算能力，属于中档题．