Question

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=$\frac{3π}{4}$，cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，AD为BC边上的中线，且AD=1．
（1）求sinC的值；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）求得sinB，根据三角形中sinC=sin（A+B），利用两角和的正弦公式，展开求得sinC；
（2）设BD=CD=x，AC=y，由正弦定理求得x与y的关系，由余弦定理，1=${y}^{2}+{x}^{2}-2xy•\frac{2\sqrt{5}}{5}$，代入，求得x，y的值，再由三角形面积公式求得其面积．

解答 解：（1）在△ABC中，cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{3\sqrt{10}}{10}$+（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）•$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
（2）设BD=CD=x，AC=y，
在三角形ABC中，由正弦定理得：$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$，
得：$\frac{y}{\frac{\sqrt{10}}{10}}=\frac{2x}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，
∴y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}x$，在△ACD中，由余弦定理：AD²=AC²+CD²-2AC•CDcosC，
∵A=$\frac{3π}{4}$，0＜C＜$\frac{π}{4}$，
cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴1=${y}^{2}+{x}^{2}-2xy•\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC•sinC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=2．

点评 本题考查三角恒等变换与正余弦定理相结合，属于考试的重点，要求学生灵活掌握，属于中档题．