Question

13．若数列{a_n}的前n项和S_n=1+32n-n²，
（1）求a_n；
（2）研究数列通项正负符号；
（3）求数列{|a_n|}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）通过S_n=1+32n-n²与S_n-1=1+32（n-1）-（n-1）²作差，进而整理可得结论；
（2）通过（1）令a_n＞0，进而解不等式可得结论；
（3）通过（2）可得数列{|a_n|}的通项公式，分1≤n≤16、n≥17两种情况讨论即可．

解答 解：（1）∵S_n=1+32n-n²，
∴当n≥2时，S_n-1=1+32（n-1）-（n-1）²，
两式相减得：a_n=-2n+33，
又∵a₁=1+32-1=32不满足上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{32，}&{n=1}\\{-2n+33，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，令-2n+33＞0可知n＜16.5，
又∵数列{a_n}递减，
∴当1≤n≤16时a_n为正，当n≥17时a_n为负；
（3）由（2）可知，|a_n|=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，}&{1≤n≤16}\\{-{a}_{n}，}&{n≥17}\end{array}\right.$，
记数列{|a_n|}的前n项和为T_n，则
当1≤n≤16时，T_n=S_n=1+32n-n²；
当n≥17时，T_n=2S₁₆-S_n=2（1+32×16-16²）-（1+32n-n²）=n²-32n+513；
综上所述，数列{|a_n|}的前n项和T_n=$\left\{\begin{array}{l}{1+32n-{n}^{2}，}&{1≤n≤16}\\{{n}^{2}-32n+513，}&{n≥17}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．