Question

10．已知函数f（x）=mlnx（m∈R）．
（1）若函数y=f（x）+x的最小值为0，求m的值；
（2）设函数g（x）=f（x）+mx²+（m²+2）x，试求g（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）函数整理为y=mlnx+x，求导，由题意可知，函数的最小值应在极值点处取得，令f'（x）=$\frac{m}{x}$+1=0，代入求解即可；
（2）函数整理为g（x）=mlnx+mx²+（m²+2）x，求导得g'（x）=$\frac{（mx+1）（2x+m）}{x}$，对参数m进行分类讨论，逐一求出单调区间．

解答 解：（1）y=f（x）+x
=mlnx+x，
f'（x）=$\frac{m}{x}$+1=0，
∴m=-x₀，
∵函数y=f（x）+x的最小值为0，
∴-x₀lnx₀+x₀=0，
∴m=x₀=$\frac{1}{e}$；
（2）g（x）=f（x）+mx²+（m²+2）x
=mlnx+mx²+（m²+2）x，
∴g'（x）=$\frac{（mx+1）（2x+m）}{x}$，
当m=0时，g（x）=2x，定义域内递增；
当m≠0时，
令g'（x）=0，
∴x=-$\frac{1}{m}$或x=-$\frac{m}{2}$
当m＞0时，g'（x）＞0，g（x）定义域内递增；
当m＜0时，
 当m＞-$\sqrt{2}$时，函数的增区间为（0，-$\frac{m}{2}$）u（-$\frac{1}{m}$，+∞），减区间为（-$\frac{m}{2}$，-$\frac{1}{m}$）；
 当m＜-$\sqrt{2}$时，函数的增区间为（0，-$\frac{1}{m}$）u（-$\frac{m}{2}$，+∞），减区间为（-$\frac{1}{m}$，-$\frac{m}{2}$）；
当m=-$\sqrt{2}$时，定义域内递增．

点评 本题考查了利用导函数求函数的单调性问题，难点是对导函数中参数的讨论问题．