Question

20．如图ABCD是平面四边形，∠ADB=∠BCD=90°，AB=4，BD=2．
（Ⅰ）若BC=1，求AC的长；
（Ⅱ）若∠ACD=30°，求tan∠BDC的值．

Answer 1

分析 （I）设∠ABD=α，∠CBD=β．在Rt△ABD中，cosα=$\frac{BD}{AB}$，可得α．在Rt△CBD中，cosβ=$\frac{BC}{BD}$，可得β．在△ABC中，利用余弦定理即可得出．
（II）设∠BDC=θ，在△ACD中，由正弦定理可得：$\frac{AC}{sin（9{0}^{°}+θ）}$=$\frac{2\sqrt{3}}{sin3{0}^{°}}$，化为AC=$4\sqrt{3}$cosθ．同理在△ABC中，利用正弦定理可得：AC=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$cos（60°-θ），化简解出即可得出．

解答 解：（I）设∠ABD=α，∠CBD=β
在Rt△ABD中，cosα=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，∴α=$\frac{π}{3}$．
在Rt△CBD中，cosβ=$\frac{BC}{BD}$=$\frac{1}{2}$，∴β=$\frac{π}{3}$．
∴α+β=$\frac{2π}{3}$．
在△ABC中，AC²=${1}^{2}+{4}^{2}-2×1×4×cos\frac{2π}{3}$=21．
∴AC=$\sqrt{21}$．
（II）设∠BDC=θ，在△ACD中，$\frac{AC}{sin（9{0}^{°}+θ）}$=$\frac{2\sqrt{3}}{sin3{0}^{°}}$，化为AC=$4\sqrt{3}$cosθ．
在△ABC中，$\frac{AC}{sin（6{0}^{°}+9{0}^{°}-θ）}$=$\frac{AB}{sin6{0}^{°}}$，化为：AC=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$cos（60°-θ），
∴$4\sqrt{3}$cosθ═$\frac{8\sqrt{3}}{3}$cos（60°-θ），化为：3cosθ=2cos（60°-θ），
∴3cosθ=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ，
∴tanθ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理的应用、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．