Question

10．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）写出a的值；
（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；
（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）根据频率频率直方图的性质，可求得a的值；
（2）由分层抽样，求得初中生有60名，高中有40名，分别求得初高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率及人数，求和；
（3）分别求得，初高中生中阅读时间不足10个小时的学生人数，写出X的取值及概率，写出分布列和数学期望．

解答 解：（1）由频率直方图的性质，（0.005+0.02+a+0.04+0.005）×10=1，
a=0.03，
（2）由分层抽样可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，
∵初中生中，阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10=0.25，
∴所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有0.25×1800=450人，
同理，高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10=0.035，
学生人数约为0.35×1200=420人，
所有的学生阅读时间不小于30小时的学生约有450+420=870，
（3）初中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×60=3人，
同理，高中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10×40=2，
故X的可能取值为：1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}•{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}•{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

∴E（X）=1×$\frac{3}{10}$+2×$\frac{3}{5}$+3×$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，分布列和期望求法，考查计算能力，属于中档题．