Question

1．已知正数a，b，c满足a²+b²+c²=6．
（1）求a+b+2c的最大值；
（2）若不等式|x-1|+|x-4|+1≥a+b+2c对于满足条件的a，b，c都成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用柯西不等式得：（a²+b²+c²）（1+1+4）≥（a+b+2c）²，即36≥（a+b+2c）²．再根据a、b、c为正实数，求得a+b+2c的最大值．
（2）由题意可得|x-1|+|x-4|+1≥（a+b+2c）_max=6，分类讨论，解不等式即得所求．

解答 解：（1）∵a²+b²+c²=6，
∴由柯西不等式得：（a²+b²+c²）（1+1+4）≥（a+b+2c）²，
故有36≥（a+b+2c）²．
再根据a、b、c为正数，
∴a+b+2c≤6，即a+b+2c的最大值为6．
（2）∵a、b、c为实数，不等式|x-1|+|x-4|+1≥a+b+2c恒成立，
∴|x-1|+|x-4|+1≥（a+b+2c）_max=6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{1-x+4-x+1≥6}\end{array}\right.$①；或$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{x-1+4-x+1≥6}\end{array}\right.$②；或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞4}\\{x-1+x-4+1≥6}\end{array}\right.$③．
解①求得x≤0，解②求得x∈∅，解③求得 x≥5，
综上可得，实数x的取值范围为（-∞，0]∪[5，+∞）．

点评 本题主要考查分式不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．