Question

20．已知$f（x）=2sinx•cos（{x+\frac{π}{3}}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求$f（{-\frac{π}{4}}）$的值；
（2）若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．

解答 解：（1）由于$f（x）=2sinx•cos（{x+\frac{π}{3}}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=sinxcosx-\sqrt{3}{sin^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=sin（{2x+\frac{π}{3}}）$．
∴$f（{-\frac{π}{4}}）=sin（{-\frac{π}{6}}）=-\frac{1}{2}$．
（2）∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，∴$2x+\frac{π}{3}∈[{\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}}]$，∴$f（x）∈[{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．