Question

在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在直线y=x+4上，半径为的圆C经过坐标原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）是否存在直线l：x-y-m=0与圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点恰在抛物线x²=4y上，若l存在，请求出m的值，若l不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意，设圆心坐标为（a，a+4）
∵半径为的圆C经过坐标原点O
∴a²+（a+4）²=8
∴a²+4a+4=0
∴a=-2
∴圆心坐标为（-2，2）
∴圆C的方程：（x+2）²+（y-2）²=8
（2）将直线l：x-y-m=0与圆C联立，消去y可得：2x²-2mx+m²+4m=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=m
∴y₁+y₂=x₁+x₂+2m=3m
∵线段AB的中点恰在抛物线x²=4y上
∴满足方程x²=4y
∴
∴m=0或m=24
当m=0时，△=4m²-8（m²+4m）=0，不符合题意．
当m=24时，△=4m²-8（m²+4m）＜0
所以不存在直线l：x-y-m=0与圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点恰在抛物线x²=4y上
分析：（1）由题意，设圆心坐标为（a，a+4），利用半径为的圆C经过坐标原点O，可得a²+（a+4）²=8，从而可得圆心坐标，进而可求圆C的方程；
（2）将直线l：x-y-m=0与圆C联立，消去y可得：2x²-2mx+m²+4m=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=m
，y₁+y₂=x₁+x₂+2m=3m，利用线段AB的中点恰在抛物线x²=4y上，可求得m=0或m=24，再验证△=4m²-8（m²+4m），即可知是否存在．
点评：本题考查的重点是圆的方程，考查直线与圆相交，解题时，将直线与圆联立是关键，判别式是否验证是易错点．