Question

1．已知奇函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x+c}$（c∈R）．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）当x∈[2，+∞）时，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的奇偶性，得到$\frac{{x}^{2}+1}{-x+c}$=-$\frac{{x}^{2}+1}{x+c}$=$\frac{{x}^{2}+1}{-x-c}$，比较系数求出c的值即可；（Ⅱ）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴$\frac{{x}^{2}+1}{-x+c}$=-$\frac{{x}^{2}+1}{x+c}$=$\frac{{x}^{2}+1}{-x-c}$，
比较系数得：c=-c，∴c=0，
∴f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$；
（Ⅱ）∵f（x）=x+$\frac{1}{x}$，∴f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
当x∈[2，+∞）时，1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，
∴f（x）_min=f（2）=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了函数的奇偶性问题，考查了函数的单调性、最值问题，是一道中档题．