Question

9．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$） 的部分图象如图所示．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，得到y=g（x）的图象，求直线y=$\sqrt{3}$与函数y=g（x）的图象在（0，π）内所有交点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由函数图象可得A，T，利用周期公式可得ω，由点（$\frac{5π}{12}$，0）在函数图象上，结合范围|φ|＜$\frac{π}{2}$，解得φ，从而可求函数y=f（x）的解析式．
（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换得到g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），由2sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，可解得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由x∈（0，π）可求2x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$），从而可得x的值，即可得解．

解答 解：（1）由函数图象可得：A=2，T=$\frac{11π}{12}-（-\frac{π}{12}）$=π，可得$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}=2$，
由点（$\frac{5π}{12}$，0）在函数图象上，可得：2sin（2×$\frac{5π}{12}$+φ）=0，解得：φ=k$π-\frac{5π}{6}$，k∈Z，
因为：|φ|＜$\frac{π}{2}$，所以解得：φ=$\frac{π}{6}$．
故函数y=f（x）的解析式为：y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，得到y=g（x）=2sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
由2sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，可解得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵x∈（0，π）
∴2x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$）
∴2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，解得x=$\frac{π}{6}$，
∴直线y=$\sqrt{3}$与函数y=g（x）的图象在（0，π）内交点的坐标为（$\frac{π}{6}$，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，函数的图象的交点的求法，考查计算能力，属于基本知识的考查．