Question

已知等差数列{a_n}的公差为d，且a₂=3，a₅=9，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=1-

1

2

b_n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=

1

2

a_nb_n 求证：数列{c_n}的前n项和 T_n≤1．

Answer 1

分析：（1）依题意，易求d与a₁，从而可求a_n；由S_n=1-

1

2

b_n，S_n-1=1-

1

2

b_n-1，二式相减可求得

bn

bn-1

=

1

3

（n≥2），从而可求得b_n；
（2）利用c_n=

1

2

a_nb_n=（2n-1）•(

1

3

)n，T_n=1×(

1

3

)1+3×(

1

3

)2+5×(

1

3

)3+…+（2n-3）×(

1

3

)n-1+（2n-1）×(

1

3

)n，用错位相减法即可求得T_n．

解答：解：（1）依题意，d=

a5-a2

5-2

=2，故a₁=a₂-d=1，
∴a_n=2n-1（n∈N^*）…1分
在S_n=1-

1

2

b_n中，令n=1，得b₁=

2

3

，
当n≥2时，S_n=S_n=1-

1

2

b_n，S_n-1=1-

1

2

b_n-1，
两式相减得b_n=

1

2

b_n-1-

1

2

b_n，
∴

bn

bn-1

=

1

3

（n≥2）…4分
∴b_n=

2

3

•(

1

3

)n-1=

2

3n

（n∈N^*）…5分
（2）c_n=

1

2

a_nb_n=（2n-1）•(

1

3

)n…6分
T_n=1×(

1

3

)1+3×(

1

3

)2+5×(

1

3

)3+…+（2n-3）×(

1

3

)n-1+（2n-1）×(

1

3

)n，

1

3

T_n=1×(

1

3

)2+3×(

1

3

)3+…+（2n-3）×(

1

3

)n+（2n-1）×(

1

3

)n+1…7分，
两式相减得：

2

3

T_n=

1

3

+2[(

1

3

)2+(

1

3

)3+…+(

1

3

)n]-（2n-1）×(

1

3

)n+1
=

1

3

+2×

1 9 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-（2n-1）×(

1

3

)n+1…9分，
∴T_n=1-(

1

3

)n×（n+1）…11分
∵n∈N^*，
∴T_n≤1…12分

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式，考查错位相减法及综合运算能力，属于中档题．