Question

10．已知集合A=[a-3，a]，函数$f（x）={（\frac{3}{2}）^{{x^2}-4x}}$（-2≤x≤5）的单调减区间为集合B．
（1）若a=0，求（∁_RA）∪（∁_RB）；
（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数、指数函数、复合函数的单调性求出集合B，由条件和补集的运算求出∁_RA、∁_RB，由交集的运算求出（∁_RA）∪（∁_RB）；
（2）由A∩B=A得A⊆B，根据子集的定义和题意列出不等式组，求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）由题意知函数f（x）的定义域是：[-2，5]，
则函数y=x²-4x=（x-2）²-4的减区间为[-2，2]，
又$\frac{3}{2}＞1$，则函数f（x）的减区间[-2，2]，即集合B=[-2，2]，
当a=0时，A=[-3，0]，
则∁_RA=（-∞，-3）∪（0，+∞），（∁_RB）=（-∞，-2）∪（2，+∞）；
所以（∁_RA）∪（∁_RB）=（-∞，-2）∪（0，+∞）；
（2）由A∩B=A得，A⊆B=[-2，2]，
所以$\left\{\begin{array}{l}a-3≥-2\\ a≤2\end{array}\right.$，解得1≤a≤2，
即实数a的取值范围为[1，2]．

点评 本题考查了交、并、补集的混合运算，集合之间的关系，以及二次函数、指数函数、复合函数的单调性，属于中档题．