Question

已知椭圆(a>b>0)的左焦为F,右顶点为A,上顶点为B,O为坐标原点,M为椭圆上任意一点,过F,B,A三点的圆的圆心为(p,q).
(1).当p+q≤0时,求椭圆的离心率的取值范围;
(2).若D(b+1,0),在(1)的条件下,当椭圆的离心率最小时,的最小值为,求椭圆的方程.

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：本题主要考查直线和圆的方程、椭圆的方程、离心率、向量的运算、二次函数的最值等基础知识，意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力以及利用函数与方程思想、数形结合思想的解题能力.
第一问，利用AF、AB的中垂线的交点为圆心，得到圆心坐标，由已知令，解出a，c的关系，从而求离心率e的范围；第二问，结合第一问得，则得出基本量a，b，c的关系，设出椭圆方程，用c表示，并确定点M的横坐标的取值范围，利用向量的数量积，得出关于x的表达式，利用配方法，通过讨论抛物线的对称轴与的大小来决定最小值在哪个位置取得，令最小值等于，解出c的值，从而确定椭圆的标准方程.
试题解析：（1）设半焦距为.由题意的中垂线方程分别为，
于是圆心坐标为.所以，
整理得，                 4分
即，
所以，于是，即.
所以，即.                 6分
（2）当时，，此时椭圆的方程为，
设，则，
所以.       8分
当时，上式的最小值为，即，得；    10分
当时，上式的最小值为，即，
解得，不合题意，舍去.
综上所述，椭圆的方程为.              12分