Question

已知函数f（x）=lnx+

a

x

．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值是

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）求函数的定义域，利用导数研究函数的单调区间．
（2）利用导数确定函数的最小值，然后利用函数f（x）在[1，e]上的最小值是

3

2

，求a．

解答：解：函数f(x)=lnx+

a

x

的定义域为（0，+∞），f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

…（1分）
（1）当a≤0时，∴f'（x）≥0故函数在其定义域（0，+∞）上是单调递增的． …（3分）
当a＞0时，函数在（0，a）上是单调递减的，在（a，+∞）上是单调递减的…（5分）
（2）在[1，e]上，分别进行讨论．
①当a＜1时，f'（0）＞0，函数f（x）单调递增，其最小值为f（1）=a＜1，这与函数f（x）在[1，e]上的最小值是

3

2

矛盾，所以不成立．
②当a=1时，函数f（x）单调递增，其最小值为f（1）=1，函数f（x）在[1，e]上的最小值是

3

2

矛盾，所以不成立．
③当1＜a＜e，函数f（x）在[1，a]上f'（x）＜0，函数单调递减，在（a，e）上有f'（x）＞0，此时喊得单调递增，
所以函数f（x）满足最小值为f（a）=lna+1=

3

2

，
解得a=

e

．
④当a=e时，函数f（x）在[1，a]上f'（x）＜0，函数单调递减，其最小值为f（e）=2，与条件矛盾．
⑤当a＞e时，函数f（x）在[1，e]上f'（x）＜0，函数单调递减，其最小值为f（e）=1+

a

e

＞2，与条件矛盾．
综上所述，a=

e

．

点评：本题主要考查导数与函数的单调性和最值之间的关系，要求熟练掌握导数的基本应用．