Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为2，侧棱BB₁与底面ABC所成角为

π

3

，且侧面ABB₁A₁⊥底面ABC．
（1）证明：点B₁在平面ABC上的射影O为AB的中点；
（2）求二面角C-AB₁-B的大小．

Answer 1

分析：（1）过B₁点作B₁O⊥BA于点O．由面面垂直的性质定理，可得B₁O⊥面ABC，所以∠B₁BA是侧面BB₁与底面ABC所成的角，∠B₁BO=

π

3

．在Rt△B₁OB中，BO=BB₁cos

π

3

=1=

1

2

AB，所以O是AB的中点，即点B₁在平面ABC上的射影O为AB的中点；
（2）连接AB₁，过点O作OM⊥AB₁，连线CM、OC．正三角形ABC的中线OC⊥AB，结合平面ABC⊥平面AA₁BB₁，得到OC⊥平面AA₁B₁B，结合三垂线定理可得AB₁⊥CM，所以∠OMC是二面角C-AB₁-B的平面角．最后在在Rt△OCM中求出OC、OM的长，利用直角三角形三角函数的定义，可得tan∠OMC=2，即得二面角C-AB₁-B的大小为arctan2．

解答：解：（1）过B₁点作B₁O⊥BA于点O．
∵侧面ABB₁A₁⊥底面ABC，侧面ABB₁A₁∩底面ABC=AB，
∴B₁O⊥面ABC，
∴∠B₁BA是侧面BB₁与底面ABC所成的角，可得∠B₁BO=

π

3

在Rt△B₁OB中，BB₁=2，∴BO=BB₁cos

π

3

=1
又∵BB₁=AB=2，∴BO=

1

2

AB
∴O是AB的中点，可得点B₁在平面ABC上的射影O为AB的中点…（6分）
（2）连接AB₁，过点O作OM⊥AB₁，连线CM、OC，
∵正三角形ABC中，O是AB的中点，∴OC⊥AB，
∵平面ABC⊥平面AA₁BB₁，平面ABC∩平面AA₁BB₁=AB
∴OC⊥平面AA₁B₁B，可得OM是斜线CM在平面AA₁B₁B的射影
∵OM⊥AB₁，∴AB₁⊥CM，可得∠OMC是二面角C-AB₁-B的平面角
∵等边三角形ABC中，OC=BCsin60°=

3

．Rt△AOB₁中，OM=OAsin60°=

3

2

，
∴在Rt△OCM中，tan∠OMC=

OC

OM

=2，可得∠OMC=arctan2．
∴二面角C-AB₁-B的大小为arctan2．…（12分）

点评：本题给出特殊的三棱柱，证明直线与平面垂直并求平面与平面所成的角，着重考查了平面与平面垂直的性质和二面角的平面角及求法等知识，属于中档题．