Question

6．数列{a_n}、{b_n}满足a₁=1，且a_n+1、1+a_n是函数f（x）=x²-b_nx+a_n的两个零点，则a₂=$\frac{1}{2}$，当b_n＞$\frac{4}{3}$时，n的最大值为5．

Answer 1

分析 利用根与系数的关系得出{a_n}的递推公式，从而得出a_n，b_n的通项公式，在解不等式得出n的值．

解答 解：∵a_n+1、1+a_n是函数f（x）=x²-b_nx+a_n的两个零点，
∴a_n+1（1+a_n）=a_n，即a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，又a₁=1，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以1为公差的等差数列．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=n，即a_n=$\frac{1}{n}$，∴a₂=$\frac{1}{2}$，
又由根与系数的关系得：b_n=a_n+1+（1+a_n）=$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$+1，
令$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$+1＞$\frac{4}{3}$，得n²-5n-3＜0，解得$\frac{5-\sqrt{37}}{2}$＜n＜$\frac{5+\sqrt{37}}{2}$，
又n∈N，故n的最大值为5．
故答案为：$\frac{1}{2}$，5．

点评 本题考查了数列的通项公式的求法，等差数列的判断，属于中档题．