Question

19.如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x²相交于A、B两点.一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l：y=-c交于点P、Q.

（1）若·=2，求c的值；

（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；

（3）试问（2）的逆命题是否成立?说明理出

Answer 1

解：（1）设直线AB的方程为y=kx+c，将该方程代入y=x²得x²–kx-c=0.

令A（a，a²），B（b，b²），则ab= -c。

因为·=ab+a²b²= -c+c²=2，解得c=2，或c=-1（舍去）。故c=2.

（2）由题意知Q（，-c），直线AQ的斜率为

k_AQ=

又y=x²的导数为y′=2x，所以点A处切线的斜率为2a，因此，AQ为该抛物线的切线。

（3）（2）的逆命题成立。证明如下：

设Q（x₀，-c）.

若AQ为该抛物线的切线，则k_AQ=2a。

又直线AQ的斜率为k_AQ=，所以=2a，得2ax₀=a²+ab，因a≠0，有x₀=.

故点P的横坐标为，即P点是线段AB的中点。