Question

已知函数f（x）=2^|x-m|和函数g（x）=x|x-m|+2m-8．
（1）若m=2，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意x₁∈（-∞，4]，均存在x₂∈[4，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）m=2时，函数f（x）=）=2^|x-2|，故函数f（x）的单调增区间为（2，+∞），单调减区间为（-∞，2）；
（2）f（x）=，则f（x）的值域应是g（x）的值域的子集．
①当4≤m≤8时，f（x）在（-∞，4]上单调减，故f（x）≥f（4）=2^m-4 ，
g（x）在[4，m]上单调减，[m，+∞）上单调增，故g（x）≥g（m）=2m-8，
所以2^m-4≥2m-8，解得4≤m≤5或8≥m≥6．
②当m＞8时，f（x）在（-∞，4]上单调减，故f（x）≥f（4）=2^m-4，g（x）在[4，]单调增，[，m]上单调减，[m，+∞）上单调增，g（4）=6m-24＞g（m）=2m-8，
故g（x）≥g（m）=2m-8，所以2^m-4≥2m-8，解得m≥8
③0＜m＜4时，f（x）在（-∞，m]上单调减，[m，4]上单调增，故f（x）≥f（m）=1．
g（x）在[4，+∞）上单调增，故g（x）≥g（4）=8-2m，所以8-2m≤1，即≤m＜4．
④m≤0时，f（x）在（-∞，m]上单调减，在[m，4]上单调增，故f（x）≥f（m）=1．
g（x）在[4，+∞）上单调增，故g（x）≥g（4）=8-2m，所以8-2m≤1，即m≥．（舍去）
综上，m的取值范围是[，5]∪[6，+∞）．
分析：（1）m=2时，函数f（x）=）=2^|x-2|，由此可得函数的单调区间；
（2）由题意可得f（x）的值域应是g（x）的值域的子集，再分4≤m≤8、m＞8、0＜m＜4、m≤0四种情况，分别求出实数m的取值范围，再取并集即得所求．
点评：本题主要考查函数的单调性的判断，利用函数的单调性求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．