Question

17．已知函数f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$．
（1）求f（x）的定义域．
（2）若f（a）=2，求a的值；
（3）求证：f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）

Answer 1

分析 （1）根据分母不是0，求出函数的定义域即可；（2）令2=$\frac{1{+a}^{2}}{1{-a}^{2}}$，解出即可；（3）令x=$\frac{1}{x}$，带入f（x）的解析式，整理即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$，
故1-x²≠0，解得：x≠±1，
故函数的定义域是{x|x≠±1}；
（2）若f（a）=2=$\frac{1{+a}^{2}}{1{-a}^{2}}$，
即1+a²=2-2a²，
解得：a=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1+\frac{1}{{x}^{2}}}{1-\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}-1}$=-f（x）．

点评 本题考查了求函数的定义域问题，考查函数求值问题，考查等式的证明，是一道基础题．