Question

【题目】已知数列中，，且.

（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）数列中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，；（2）不存在.

【解析】

（1）推导出an+1+1＝﹣3（an+1），n∈N*．a1+1＝2，由此能证明{an+1}是以2为首项，﹣3为公比的等比数列，可求数列{an}通项公式．（2）假设am，an，ap构成等差数列，m≠n≠p，则2an＝am+ap，利用（1）的通项公式进行推导不满足2an＝am+ap，从而数列{an}中不存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列．

（1）因为，所以，因为，

所以数列是以2为首项，以-3为公比的等比数列，

所以，即；

（2）假设存在三项按一定顺序重新排列后成等差.

①若，则，

整理得，两边同除以，

可得，

等式右边是-3的整数倍，左边不是-3的整数倍，故等式不成立.

②若，则，

整理得，两边同除以，

可得，

等式右边是-3的整数倍，左边不是-3的整数倍，故等式不成立.

③若，则，

整理得，两边同除以，

可得，

等式左边是-3的整数倍，右边不是-3的整数倍，故等式不成立；

综上，不存在不同的三项符合题意.