Question

在实数集R上定义运算?：x?y=（x+a）（1-y），若f（x）=x²，g（x）=x，若F（x）=f（x）?g（x）．
（1）求F（x）的解析式；
（2）若F（x）在R上是减函数，求实数a的取值范围；
（3）若a=

5

3

，F（x）的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直，若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由F（x）=f（x）?g（x）=（x²-a）（1-x），能求出F（x）的解析式．
（2）由F（x）=-x³+x²-ax+a，知F′（x）=-3x²+2x-a，由F（x）在R上是减函数，知△=4-12a≤0，由此能求出实数a的取值范围．
（3）a=

5

3

时，F（x）=-x³+x²-

5

3

x+

5

3

，设P（x₁，y₁），Q（x2 ，y₂）是F（x）曲线上的任意两点，由题设条件能推导出F′(x1)F′(x2)=-1不成立，从而得到F（x）的曲线上不存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．

解答：解：（1）∵x?y=（x+a）（1-y），f（x）=x²，g（x）=x，
∴F（x）=f（x）?g（x）
=（x²-a）（1-x）
=-x³+x²-ax+a，
（2）∵F（x）=-x³+x²-ax+a，
∴F′（x）=-3x²+2x-a，
∵F（x）在R上是减函数，
∴△=4-12a≤0，解得a≥

1

3

．
故实数a的取值范围是[

1

3

，+∞）．
（3）a=

5

3

时，F（x）=-x³+x²-

5

3

x+

5

3

，
设P（x₁，y₁），Q（x2 ，y₂）是F（x）曲线上的任意两点，
∵F′(x)=-3x2+2x-

5

3

=[3（x-

1

3

）²+

4

3

]＜0，
∴F′(x1)F′(x2)=[3（x₁-

1

3

）²+

4

3

]•[3（（x₂-

1

3

） 2 +

4

3

]＞0，
∴F′(x1)F′(x2)=-1不成立，
∴F（x）的曲线上不存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查两条互相垂直的切线是否存在的判断，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．