Question

（2009•嘉定区二模）图1所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．图2是它的主视图和左视图（单位：cm）．
（1）在主视图下面按照三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（2）按照图2给出的尺寸，求该多面体的体积；
（3）在图1中连接B₁C，求异面直线EF和B₁C所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

Answer 1

分析：（1）根据几何体的结构特征与它的正（主）视图和侧（左）视图可得其侧视图．
（2）由题意可得：所求多面体体积V=V_长方体-V_{正三棱锥，}
（3）在AB上取一点G，使AG=1（BG=4），连接B₁G，CG，则∠FB₁G=45°，所以B₁G∥FE，所以∠CB₁G（或其补角）就是异面直线EF和B₁C所成的角．在△CB₁G中 求解即可．

解答：解：（1）


注：正确作出图形得（3分），作错不给分．
（2）V=5×4×3-

1

3

×

1

2

×2×2×2=60-

4

3

=

176

3

（cm³），
所以，该多面体的体积为

176

3

cm³．…（8分）
（3）由已知，∠B₁FE=135°，在AB上取一点G，使AG=1（BG=4），连接B₁G，CG，则∠FB₁G=45°，所以B₁G∥FE，所以∠CB₁G（或其补角）就是异面直线EF和B₁C所成的角．…（10分）
在△CB₁G中，B1G=4

2

，B₁C=GC=5，所以cos∠CB1G=

2 2

5

．…（13分）
所以异面直线EF和B₁C所成角的大小为arccos

2 2

5

．…（14分）

点评：本题考查该多面体的三视图，多面体的体积的计算，异面直线所成角的大小计算，考查化归与转化（不规则几何体转化为规则几何体求体积、空间角转化为平面角）的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．