【题目】已知函数.(其中为自然对数的底数)
(1)若,且在上是增函数,求的最小值;
(2)设,若对任意、恒有,求的取值范围.
【答案】(1)最小值是;(2).
【解析】
(1)将代入函数的解析式可得,求出导数,可得知函数在上为增函数,然后利用零点存在定理可知函数在区间在存在极小值点,从而得出函数在上单调递增,由此可求出自然数的最小值;
(2)求出函数的导数,构造函数,可得出函数在上为增函数,由零点存在定理可知,存在,使得,可得出,分析函数的函数值符号可得出为函数的最小值点,并构造函数,可得出,由此可得出函数的最小值为,根据题意得出,从而求出实数的取值范围.
(1)当时,,,
在上是增函数,且,,
所以存在,使得在上是减函数,在上是增函数,
因此,的最小值是;
(2),,
设,则在上是增函数,
且,,所以存在,使得,
所以时,,,是减函数;
时,,,是增函数,所以.
由得,设,则,
由在上是增函数,可得,,
所以,
所以的值域为,若对任意恒有,
则,即,所以的取值范围是.
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【题目】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元。设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式。
(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值。
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【题目】已知四棱锥的底面ABCD是直角梯形,AD//BC,,E为CD的中点,
(1)证明:平面PBD平面ABCD;
(2)若,PC与平面ABCD所成的角为,试问“在侧面PCD内是否存在一点N,使得平面PCD?”若存在,求出点N到平面ABCD的距离;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知在直角坐标系内,直线的参数方程为(为参数,为倾斜角).以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)写出曲线的直角坐标方程及直线经过的定点的坐标;
(Ⅱ)设直线与曲线相交于两点,求点到两点的距离之和的最大值.
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【题目】在直角坐标系中,曲线,曲线(为参数),以坐标原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求,的极坐标方程;
(2)射线l的极坐标方程为,若l分别与,交于异于极点的,两点,求的最大值.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)设点分别为曲线与曲线上的任意一点,求的最大值;
(2)设直线(为参数)与曲线交于两点,且,求直线的普通方程.
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【题目】已知椭圆:的焦点分别为,,椭圆的离心率为,且经过点,经过,作平行直线,,交椭圆于两点,和两点,.
(1)求的方程;
(2)求四边形面积的最大值.
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