Question

（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，平面侧面．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若直线与平面所成角是，锐二面角的平面角是，试判断与的大小关系，并予以证明．

 

Answer 1

【答案】

本小题满分12分）

（I）

证明：如图，过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，

则由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁于A₁B，

得AD⊥平面A₁BC，        ………………（2分）

又BC平面A₁BC，∴AD⊥BC.

在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，

AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥BC. ………………（4分）

又AA₁∩AD=A，从而BC⊥侧面A₁ABB₁，　

又AB侧面A₁ABB₁，故AB⊥BC；…………（6分）

（II）

方法1：连接CD，则由（I）知是直线AC与平面A₁BC所成的角，

                                           ………………（8分）

是二面角A₁—BC—A的平面角，即，

                                           ………………（10分）

在Rt△ADC中， ，在Rt△ADB中，，

由AC AB，得又所以

                                           ………………（12分）

方法2：设AA₁=a，AB=b，BC=c，由（I）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB₁所在

的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则 B(0，0，0)， A(0，b，0)，C(c，0，0)，，b，a)，

∴(c，0，0)，( 0，b，a)，…………（7分）

( c，-b，0)，设平面A₁BC的一个，

由，得，取， ……………（9分）

∴，            

∵平面ABC的法向量为( 0，0，a)，∵二面角A₁—BC—A的平面角是锐角，

∴，

                              ……………（10分）

∵，∴，，

∵，∴．                     ………………（12分）

【解析】略