Question

已知函数f（x）=

A

2

sinx+

3 A

2

cosx，且f（

π

6

）=3．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若f（θ）-f（-θ）=

3

，θ∈（0，

π

2

），求f（

π

3

-θ）的值．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用两角和差的正弦公式求得f（x）=3sin（x+

π

3

），再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．
（2）由条件求得sinθ的值，可得cosθ 的值，再利用两角和差的正弦公式，求得f（

π

3

-θ）的值．

解答： 解：（1）由于f（x）=

A

2

sinx+

3 A

2

cosx=Asin（x+

π

3

），且f（

π

6

）=3=Asin

π

2

=A，∴f（x）=3sin（x+

π

3

）．
令2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，求得2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

，故函数的增区间为[2kπ-

5π

6

，2kπ+

π

6

]，k∈z．
 （2）∵f（θ）-f（-θ）=

3

，θ∈（0，

π

2

），∴3sin（θ+

π

3

）-3sin（-θ+

π

3

）=

3

，化简可得sinθ=

3

3

，∴cosθ=

6

3

，
∴f（

π

3

-θ）=3sin[（

π

3

-θ）+

π

3

]=3sin（

2π

3

-θ）=3（sin

2π

3

cosθ-cos

2π

3

sinθ）=3（

3

2

×

6

3

+

1

2

×

3

3

）=

3 2 + 3

2

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的单调性，属于基础题．