Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=

1

2

（|x-a²|+|x-2a²|-3a²），若对于任意的实数x，都有f（x-1）≤f（x）成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[-

  3

  6

  ，

  3

  6

  ]
• B、[-

  6

  6

  ，

  6

  6

  ]
• C、[-

  1

  3

  ，

  1

  3

  ]
• D、[-

  3

  3

  ，

  3

  3

  ]

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：

分析：把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对?x∈R，都有f（x-1）≤f（x），可得2a²-（-4a²）≤1，求解该不等式得答案．

解答： 解：当x≥0时，
f（x）=

x-3a2，x＞2a2 -a2，a2＜x≤2a2 -x，0≤x≤a2

，

由f（x）=x-3a²，x＞2a²，得f（x）＞-a²；
当a²＜x＜2a²时，f（x）=-a²；
由f（x）=-x，0≤x≤a²，得f（x）≥-a²．
∴当x＞0时，f（x）_min=-a²．
∵函数f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，f（x）_max=a²．
∵对?x∈R，都有f（x-1）≤f（x），
∴2a²-（-4a²）≤1，解得：-

6

6

≤a≤

6

6

．
故选：B．

点评：本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了转化思想，对任意的实数x，都有f（x-1）≤f（x）成立的理解与应用是关键，也是难点，属于难题．