Question

5．已知函数f（x）=mx³+nx²的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，若f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，则实数t的取值范围是[-2，-1]．

Answer 1

分析 求出函数的导数，由题意可得f（-1）=2，f′（-1）=-3．可得m=1，n=3，可得f（x）的解析式，求得导数，可令导数小于0，得减区间，再由题意可得t≥-2且t+1≤0，即可得到t的范围．

解答 解：函数f（x）=mx³+nx²的导数为f′（x）=3mx²+2nx，
由题意可得f（-1）=2，f′（-1）=-3．
即有n-m=2，3m-2n=-3，
解得m=1，n=3，
可得f（x）=x³+3x²，
由f′（x）=3x²+6x≤0可得-2≤x≤0，
f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
则t≥-2且t+1≤0，
解得-2≤t≤-1．
故答案为：[-2，-1]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，同时考查两直线平行的条件和函数的单调性的运用，属于中档题．