Question

在等比数列{a_n}中，S_n为{a_n}的前n项和，且S₃=

7

2

，S₆=

63

2

，
（1）求a_n．
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）依题意，可得到关于首项a₁与公比q的方程组，解之即可，从而可求a_n；
（2）由（1）知a_n=2^n-2，于是T_n=1•2^-1+2•2⁰+3•2¹+…+n•2^n-2，利用错位相减法即可求得T_n．

解答：解：（1）当q=1时，不合题意，舍去-------------------------（1分）
当q≠1时，

a1(1-q3)

1-q

=

7

2

且

a1(1-q6)

1-q

=

63

2

，
解得q=2，a₁=

1

2

---------------------------------------（4分）
所以a_n=2^n-2------------------------------------（6分）
（2）na_n=n•2^n-2---------------------------------------------------（7分）
所以T_n=1•2^-1+2•2⁰+3•2¹+…+n•2^n-2 ①
2T_n=1•2⁰+2•2¹+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1 ②
①-②：-T_n=

1

2

+2⁰+2¹+…+2^n-2-n•2^n-1--------------------------（9分）
所以T_n=（n-1）•2^n-1+

1

2

----------------------------------------------------------（12分）

点评：本题考查等比数列的求和公式的应用，着重考查错位相减法求和，考查解方程的能力，属于中档题．