Question

设B、C是定点，且均不在平面α上，动点A在平面α上，且sin∠ABC=

1

2

，则点A的轨迹为（　　）

• A、圆或椭圆
• B、抛物线或双曲线
• C、椭圆或双曲线
• D、以上均有可能

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：以BC为轴线，B为顶点作圆锥面，使圆锥面的顶角为60°，则圆锥面上的任意一点与B连线，都能满足∠ABC=
30°，用平面α截圆锥所得的交线即为点A的轨迹．

解答：解：以BC为轴线，B为顶点，顶角是60°（半顶角是30°），则A就是这个锥面与平面α的交线．
如果平面α只与圆锥面一面相交，如图（1），

                        （1）
那么A的轨迹是圆或椭圆或抛物线；
如果A与圆锥面两侧都相交（圆锥面两侧指以B为顶点向上的圆锥和向下的圆锥，就像沙漏的形状），
如图（2），

则轨迹是双曲线．
∴点A的轨迹为圆或椭圆或抛物线或双曲线．
故选：D．

点评：本题考查轨迹方程，考查学生的空间想象能力和思维能力，正确作出图形是解答磁体的关键，是中档题．