Question

18．已知向量$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（sinx，cosx），设函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）设锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=$\sqrt{6}$，cosB=$\frac{1}{3}$，且f（C）=$\sqrt{3}$，求b．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积公式得出f（x）解析式，使用和角公式化简，结合正弦函数的性质得出答案；
（2）根据f（C）=$\sqrt{3}$得出C，根据同角三角函数的关系计算sinB，由正弦定理得出b．

解答 解：（1）f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期T=2π，f（x）的最大值为2．
（2）∵f（C）=2sin（C+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，∴sin（C+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0$＜C＜\frac{π}{2}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
∵cosB=$\frac{1}{3}$，∴sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，∴$\frac{b}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
解得：b=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦定理，属于基础题．