Question

2．设a为实数，函数f（x）=x³+ax²+（a+2）x的导函数是f′（x），且f′（x）是偶函数，则此曲线y=f（x）在原点处的切线方程为（　　）

• A． y=-2x
• B． y=3x
• C． y=-3x
• D． y=2x

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，再由导函数是偶函数求得a，进一步得到f′（0）=2，又f（0）=0，则由直线方程的点斜式求得答案．

解答 解：由f（x）=x³+ax²+（a+2）x，得f′（x）=3x²+2ax+a+2．
∵f′（x）是偶函数，∴f′（-x）-f′（x）=0．
即3x²-2ax+a+2-3x²-2ax-a-2=0，∴a=0．
即f′（x）=3x²+2，∴f′（0）=2，
又f（0）=0，
∴曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=2x．
故选：D．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数奇偶性的性质，训练了直线方程点斜式的求法，是中档题．