Question

12．设S_n是数列{a_n}的前n项和，a_n＞0，且S_n=$\frac{1}{6}$a_n（a_n+3），则数列{a_n}的通项公式为a_n=3n．

Answer 1

分析 根据数列的前n项和通项公式之间的关系，即可得到结论．

解答 解：当n=1时，${S_1}={a_1}=\frac{1}{6}{a_1}（{a_1}+3）$，解得a₁=3；
当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{1}{6}[{a_n}（{a_n}+3）-{a_{n-1}}（{a_{n-1}}+3）]$，
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0．
因为a_n＞0，所以a_n-a_n-1-3=0，即a_n-a_n-1=3，
所以{a_n}是以3为首项，3为公差的等差数列，所以a_n=3+3（n-1）=3n，即a_n=3n．
故答案为：a_n=3n．

点评 本题主要考查数列通项公式的求解，根据递推关系判断数列是等差数列是解决本题的关键．