Question

3．已知偶函数F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，且f（-1）=0，当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，则使得f（x）＞0的x的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（0，1）
• B． （-1，0）∪（1，+∞）
• C． （-∞，-1）∪（-1，0）
• D． （0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 由已知当x＞0时总有xf′（x）-f（x）＜0成立，可判断函数F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，为减函数，F（x）为偶函数，函数F（x）在（-∞，0）上的单调性，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可得到答案．

解答 解：F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，F′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，
∴F′（x）＜0，
F（x）在（0，+∞）上为减函数，
F（x）为偶函数，F（x）在（-∞，0）上单调递减，
F（-1）=$\frac{f（-1）}{-1}$=0，
∴不等式f（x）＞0?x•F（x）＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{F（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{F（x）＜0}\end{array}\right.$，
解得：0＜x＜1或x＜-1，
∴f（x）＞0成立的x的取值范围是（-∞，-1）∪（0，1），
故答案选：A．

点评 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，综合能力较强，属于中档题．