Question

18．在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B（4，0），直线x-y+m=0上存在唯一的点P满足$\frac{PA}{PB}$=$\frac{1}{2}$，则实数m的取值集合是{-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$}．

Answer 1

分析 设出点P（x，x+m），由$\frac{PA}{PB}$=$\frac{1}{2}$得出4|PA|²=|PB|²，利用两点之间的距离公式求出m的解析式，
通过三角函数代换即可得出它的取值集合．

解答 解：根据题意，设P（x，x+m），
∵$\frac{PA}{PB}$=$\frac{1}{2}$，∴4|PA|²=|PB|²，
∴4（x-1）²+4（x+m）²=（x-4）²+（x+m）²，
化为（x+m）²=4-x²，
∴4-x²≥0，解得x∈[-2，2]，
∴m=-x±$\sqrt{4{-x}^{2}}$，
令x=2cosθ，θ∈[0，π]，
∴m=-2cosθ±2sinθ
=±2$\sqrt{2}$sin（θ±$\frac{π}{4}$）∈[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]，
故实数m的取值范围是{-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$}．
故答案为：{-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$}．

点评 本题考查了两点之间的距离公式、和差化积、三角函数的求值与应用问题，是综合性题目．