Question

8．已知O是坐标原点．A（2，-1），B（-4，8）．
（1）求$\overrightarrow{AB}$的坐标及|$\overrightarrow{AB}$|；
（2）求与$\overrightarrow{AB}$平行的单位向量；
（3）求与$\overrightarrow{AB}$平行且模长为2的向量；
（4）求与$\overrightarrow{AB}$垂直的单位向量；
（5）求与$\overrightarrow{AB}$垂直且模长为2的向量；
（6）求$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$；
（7）求$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OB}$上的射影；
（8）求$\overrightarrow{OB}$在$\overrightarrow{OA}$上的射影；
（9）求$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角．

Answer 1

分析 利用两个向量的数量积的定义和公式，向量的模的定义，以及一个向量在另一个向量上的投影的定义，得出结论．

解答 解：∵O是坐标原点，A（2，-1），B（-4，8），
∴（1）$\overrightarrow{AB}$=（-6，9），|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{{（-6）}^{2}{+9}^{2}}$=$\sqrt{117}$．
（2）与$\overrightarrow{AB}$平行的单位向量为$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$=（$\frac{-6}{\sqrt{117}}$，$\frac{9}{\sqrt{117}}$）=（-$\frac{2}{\sqrt{13}}$，$\frac{3}{\sqrt{13}}$），或-$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$=（$\frac{2}{\sqrt{13}}$，-$\frac{3}{\sqrt{13}}$）．
（3）求与$\overrightarrow{AB}$平行且模长为2的向量为2•$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$=（-$\frac{36}{\sqrt{117}}$，$\frac{18}{\sqrt{117}}$）=（-$\frac{12}{\sqrt{13}}$，$\frac{6}{\sqrt{13}}$），或-2•$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$=（$\frac{12}{\sqrt{13}}$，-$\frac{6}{\sqrt{13}}$）．
（4）∵$\overrightarrow{m}$=（9，6）满足$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}$=0，∴$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{AB}$，
故与$\overrightarrow{AB}$垂直的单位向量为$\frac{\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{m}|}$=（$\frac{9}{\sqrt{117}}$，$\frac{6}{\sqrt{117}}$）=（$\frac{3}{\sqrt{13}}$，$\frac{2}{\sqrt{13}}$），或-$\frac{\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{m}|}$=（-$\frac{3}{\sqrt{13}}$，-$\frac{2}{\sqrt{13}}$）．
（5）由（4）可得，与$\overrightarrow{AB}$垂直且模长为2的向量为2$\frac{\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{m}|}$=（$\frac{18}{\sqrt{117}}$，$\frac{12}{\sqrt{117}}$）=（$\frac{6}{\sqrt{13}}$，$\frac{4}{\sqrt{13}}$），或为-2$\frac{\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{m}|}$=（-$\frac{6}{\sqrt{13}}$，-$\frac{4}{\sqrt{13}}$）．
（6）$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=（2，-1）•（-4，8）=-8+（-8）=-16．
（7）设$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OB}$上的射影为n，∵$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=n•|$\overrightarrow{OB}$|=n•$\sqrt{16+64}$=-16，∴n=-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
（8）设$\overrightarrow{OB}$在$\overrightarrow{OA}$上的射影k，∵$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=k•|$\overrightarrow{OA}$|=k•$\sqrt{5}$=-16，∴k=-$\frac{16\sqrt{5}}{5}$．
（9）设$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为θ，∵$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|•cosθ=$\sqrt{5}$•$\sqrt{80}$•cosθ=-16，
∴cosθ=-$\frac{4}{5}$，∴θ=π-arcos$\frac{4}{5}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，一个向量在另一个向量上的投影，属于中档题．