Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y²=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x₁，y₁）到准线l的距离为d，且d=λp（λ＞0）．
（1）若y₁=d=1，求抛物线的标准方程；
（2）若$\overrightarrow{AM}$+λ$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，求证：直线AB的斜率为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知x₁=1-$\frac{p}{2}$，A点坐标为（1-$\frac{p}{2}$，1），将A点坐标代入抛物线方程求得p的值，写出抛物线的标准方程；
（2）直线AB过M（-$\frac{p}{2}$，0），设直线AB的方程为y=k（x+$\frac{p}{2}$），代入抛物线方程y²=2px，消去y，整理得${k}^{2}{x}^{2}+p（{k}^{2}-2）x+\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}=0$，解出x₁、x₂，将d=x₁+$\frac{p}{2}$，代入d=λp，得${x}_{1}+\frac{p}{2}=λp$，$\overrightarrow{AM}$+λ$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，可知，${x}_{1}+\frac{p}{2}=λ（{x}_{2}-{x}_{1}）$，将x₁、x₂代入，即可解得${k}^{2}=2\sqrt{2}-2$，可证直线AB的斜率为定值．

解答 解：（1）由条件知，x₁=1-$\frac{p}{2}$，则A点坐标为（1-$\frac{p}{2}$，1），代入抛物线方程得p=1，
∴抛物线方程为y²=2x，
（2）证明：设B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=k（x+$\frac{p}{2}$），
将直线AB的方程代入y²=2px，消去y得：${k}^{2}{x}^{2}+p（{k}^{2}-2）x+\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}=0$，
解得：x₁=$\frac{-p（{k}^{2}-2）-2p\sqrt{1-{k}^{2}}}{2k}$，x₂=$\frac{-p（{k}^{2}-2）+2p\sqrt{1-{k}^{2}}}{2{k}^{2}}$．
∵d=λp，
∴${x}_{1}+\frac{p}{2}=λp$，
$\overrightarrow{AM}$+λ$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，${x}_{1}+\frac{p}{2}=λ（{x}_{2}-{x}_{1}）$，
∴p=x₂-x₁=$\frac{2p\sqrt{1-{k}^{2}}}{{k}^{2}}$，
∴${k}^{2}=2\sqrt{2}-2$，
∴直线AB的斜率为定值．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，以及点到直线的距离公式和综合运用数学知识解决问题的能力，属于中档题．