Question

角A、B、C为△ABC的三个内角，且角B满足sinB+cos（B+

π

6

）=

3

2

．
（1）求角B的值；
（2）若sinA+sinC＞k恒成立，试求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）通过两角和公式对已知等式整理求得sin（B+

π

3

）的值，进而根据B的范围求得B+

π

3

，进而求得B．
（2）利用（1）中B的值，表示出C，利用两角和公式化简整理，进而利用A的范围求得sinA+sinC的范围，最后求得k．

解答： 解：（1）sinB+cos（B+

π

6

）=sinB+

3

2

cosB-

1

2

sinB=

1

2

sinB+

3

2

cosB=sin（B+

π

3

）=

3

2

．
∵0＜B＜π，
∴

π

3

＜B+

π

3

＜

4π

3

，
∴B+

π

3

=

2π

3

，B=

π

3

．
（2）∵A+B+C=π，
∴C=

2π

3

-A∈（0，

2π

3

），
∴sinA+sinC=sinA+sin（

2π

3

-A）=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

sin（A+

π

6

），
∵A+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴sin（A+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
∴

3

sin（A+

π

6

）∈（

3

2

，

3

]，
∴要使sinA+sinC＞k恒成立，则k≤

3

2

．

点评：本题要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质．解题的过程中要特别关注三角形中角的隐含范围，例如本题中C的范围．