Question

数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，数列{a_na_n+1}是公比为q（q＞0）的等比数列．
（Ⅰ）求使a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3成立的q的取值范围；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前2n项的和S_2n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3得anan+1+anan+1q ＞anan+1q ⇒1+q ＞q2，解不等式求出q的范围
（Ⅱ）由数列{a_n•a_n+1}是公比为q的等比数列，得

an+1an+2

anan+1

=q⇒

an+2

an

=q，得到数列{a_n}的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，利用分组求出数列{a_n}的前2n项的和S_2n．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n•a_n+1}是公比为q的等比数列，
由a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3得
anan+1+anan+1q ＞anan+1q ⇒1+q ＞q2，
即q²-q-1＜0（q＞0）
解得0＜q＜

1+ 5

2

．…4分
（Ⅱ）由数列{a_n•a_n+1}是公比为q的等比数列，
得

an+1an+2

anan+1

=q⇒

an+2

an

=q，
这表明数列{a_n}的所有奇数项成等比数列，
所有偶数项成等比数列，且公比都是q，…8分
又a₁=1，a₂=2，
∴当q≠1时，S_2n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_2n-1+a_2n
=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+a₆+…+a_2n）
=

a1(1-qn)

1-q

+

a2(1-qn)

1-q

=

3(1-qn)

1-q

…10分
当q=1时，

S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n

=

(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+a6+…+a2n)

=（1+1+1+…+1）+（2+2+2+…+2）=3n…12分．

点评：本题考查等比数列及其求和公式，分组求和，体现了分类讨论思想，属于一道中等题．