Question

已知函数f（x）=x³-3x的图象和函数g（x）=2x²+x+m的图象在y轴右侧有两个不同的交点，设两个交点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）设直线AB的斜率为k，求证：x₁x₂＜2（x₁+x₂-2）＜k．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）构造辅助函数h（x）=f（x）-g（x），求其导函数，得到导函数的两个零点为-

2

3

，2，由导函数的符号可知函数在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，由f（x）与g（x）的图象的两个交点都在y轴右侧，可得h（0）＞0，h（2）＜0，联立不等式组求解m的取值范围；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，0＜x₁＜2，x₂＞2，则（x₁-2）（x₂-2）＜0，整理后得到x₁x₂＜2（x₁+x₂-2），把A，B坐标代入g（x）后作差得到k=

y1-y2

x1-x2

=2(x1+x2+

1

2

)，再由2(x1+x2+

1

2

)＞2(x1+x2-2)证得答案．

解答： （Ⅰ）解：f（x）=x³-3x，g（x）=2x²+x+m，
令h（x）=f（x）-g（x）=x³-2x²-4x-m，
则h′（x）=3x²-4x-4．
由h′（x）=0，得：x=-

2

3

，x=2．
当x∈（0，2）时，h′（x）＜0，h（x）为增函数；
当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为减函数．
又h（0）=-m，h（2）=-8-m．
且f（x）与g（x）的图象的两个交点都在y轴右侧，
∴

-m＞0 -m-8＜0

，解得：-8＜m＜0；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，0＜x₁＜2，x₂＞2．
∴（x₁-2）（x₂-2）＜0，即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4＜0，
x₁x₂＜2（x₁+x₂-2）．
∵y1=2x12+x1+m，y2=2x22+x2+m．
∴y₁-y₂=（x₁-x₂）（2x₁+2x₂+1）．
∴k=

y1-y2

x1-x2

=2(x1+x2+

1

2

)．
∵2(x1+x2+

1

2

)＞2(x1+x2-2)，
∴x₁x₂＜2（x₁+x₂-2）＜k．

点评：本题考查利用导数求解两曲线的交点个数，运用了构造函数的方法，考查了不等式的证明，训练了“点差法”求直线的斜率，是压轴题．