Question

【题目】已知函数．

（1）判断函数的奇偶性，并给出证明；

（2）解不等式： ；

（3）若函数在上单调递减，比较f（2）+f（4）+…+f（2n）与2n（n∈N*）的大小关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）原不等式的解集为：（-∞，1）∪（4，+∞）；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）先求定义域，判断关于原点是否对称；再求,判断与关系，最后根据奇偶性定义确定奇偶性（2）先根据定义确定函数单调性，再利用函数奇偶性以及单调性化简不等式，最后解不等式x2+x+3＜2x2-4x+7，可得解集（3）由函数在上单调递减，得g（x）＜g（1）=0，再作差化简得f（2）+f（4）+…+f（2n）-2n=ln（2n+1）-2n=ln（2n+1）-[（2n+1）-1]，最后根据单调性得结果

试题解析：（1）函数f（x）为奇函数．

证明如下：由，解得x＜-1或x＞1，

所以函数的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）对任意的x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），

有，

所以函数f（x）为奇函数．

（2）任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则==， 因为x2＞x1＞1，所以x1x2+x2-x1-1＞x1x2-（x2-x1）-1＞0，

所以，所以f（x1）-f（x2）＞0，

所以f（x1）＞f（x2），所以函数y=f（x）在（1，+∞）单调递减；

由f（x2+x+3）+f（-2x2+4x-7）＞0得：f（x2+x+3）＞-f（-2x2+4x-7），

即f（x2+x+3）＞f（2x2-4x+7），

又 ，2x2-4x+7=2（x-1）2+5＞1 ，

所以x2+x+3＜2x2-4x+7， 解得：x＜1或x＞4，

所以原不等式的解集为：（-∞，1）∪（4，+∞）

（3）f（2）+f（4）+…+f（2n）＜2n（n∈N*）．理由如下：

因为，

所以f（2）+f（4）+…+f（2n）-2n=ln（2n+1）-2n=ln（2n+1）-[（2n+1）-1]，

又g（x）=lnx-（x-1）在（1，+∞）上单调递减，

所以当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，所以g（2n+1）＜0，

即ln（2n+1）-[（2n+1）-1]＜0，

故f（2）+f（4）+…+f（2n）＜2n（n∈N）．